Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．則二面角B-DE-C的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的平面角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=DC=2，則B（2，2，0），
D（0，0，0），
C（0，2，0），P（0，0，2），
E（0，1，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，
得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面DEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角B-DE-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-DE-C的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．