13．（1）證明三倍角的余弦公式：cos3θ=4cos3θ-3cosθ；
（2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值．

分析 （1）將cos3θ化簡(jiǎn)為cos（2θ+θ），利用兩角和差的公式和二倍角公式化簡(jiǎn)即可證得．
（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)，和同角三角關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求sin18°的值．

解答 解：（1）cos3θ=cos（2θ+θ）=cos2θcosθ-sin2θsinθ=（2cos2θ-1）cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2（1-cos2θ）cosθ=4cos3θ-3cosθ．
（2）sin36°=cos54°，
∵sin36°=2sin18°cos18°
∵cos54°=4cos318°-3cosθ．
∴2sin18°=4cos218°-3．
則sin18°=2cos218°-$\frac{3}{2}$．
2（1-sin218°）-sin18°-$\frac{3}{2}$=0，
令sin18°=t，（t＞0）
則有：2-2t2-t-$\frac{3}{2}$=0，
解得：t=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
即sin18°的值為：$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二倍角公式的運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)計(jì)算能力．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=$\sqrt{2}$．
（1）證明：A1C⊥平面BB1D1D；
（2）求平面C-OB1-B二面角θ的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．已知O為△ABC的外心，AB=3，AC=4，$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且2x+y=1（x，y≠0），則cos∠BAC=（　　）
A．$\frac{3}{8}$B．$\frac{3}{4}$C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．定義區(qū)間I=（α，β）的長(zhǎng)度為β-α，已知函數(shù)f（x）=ax2+（a2+1）x，其中a＜0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}．
（Ⅰ）求區(qū)間I的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）設(shè)區(qū)間I的長(zhǎng)度函數(shù)為g（a），試判斷函數(shù)g（a）在（-∞，-1]上的單調(diào)性；
（Ⅲ）在上述函數(shù)g（a）中，若a∈（-∞，-1]，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得g（k-sinx-3）≤g（k2-sin2x-4）對(duì)一切x∈R恒成立，若存在，求出k的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．已知圓C：（x-a）2+（y-2+a）2=1，點(diǎn)A（3，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若a=1，求圓C過(guò)點(diǎn)A的切線方程；
（Ⅱ）若直線l：x-y+1=0與圓C交于M、N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）若圓C上存在點(diǎn)P，滿足|OP|=2|AP|，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．則二面角B-DE-C的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，下列結(jié)論正確的是（　�。�
A．x=-1是f（x）的極小值點(diǎn)B．x=1是f（x）的極大值點(diǎn)
C．（1，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間D．（-1，1）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

2．函數(shù)f（x）=x2-2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（　�。�
A．（0，1）B．（-1，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．玻璃盒子里裝有各色球12個(gè)，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1球．記事件A為“取出1個(gè)紅球”，事件B為“取出1個(gè)黑球”，事件C為“取出1個(gè)白球”，事件D為“取出1個(gè)綠球”．已知P（A）=$\frac{5}{12}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{6}$，P（D）=$\frac{1}{12}$．求：
（1）“取出1球?yàn)榧t球或黑球”的概率；
（2）“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率．

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