Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e∈[

2

，2]，則一條漸近線與實(shí)軸所成角的取值范圍是（　�。�

• A、[

  π

  6

  ，

  π

  4

  ]
• B、[

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]
• C、[

  π

  4

  ，

  π

  3

  ]
• D、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由e∈[

2

，2]及c²=a²+b²，得

b

a

的取值范圍，設(shè)一條漸近線與實(shí)軸所成的角為θ，可由tanθ=

b

a

及0＜θ＜

π

2

探求θ的取值范圍．

解答： 解：∵e∈[

2

，2]，∴2≤

c2

a2

≤4，
又∵c²=a²+b²，∴2≤

a2+b2

a2

≤4，即1≤

a2

b2

≤3，得1≤

b

a

≤

3

．
由題意知，y=

b

a

x為雙曲線的一條漸近線的方程，
設(shè)此漸近線與實(shí)軸所成的角為θ，則tanθ=

b

a

，即1≤tanθ≤

3

．
∵0＜θ＜

π

2

，∴

π

4

≤θ≤

π

3

，即θ的取值范圍是[

π

4

，

π

3

]．
故答案為：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的離心率及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，關(guān)鍵是通過c²=a²+b²將離心率

c

a

的范圍轉(zhuǎn)化為漸近線的斜率

b

a

的范圍．