Question

3．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=AB=2，BC=1，$∠BAC=\frac{π}{6}$，D為棱AA₁中點，證明異面直線B₁C₁與CD所成角為$\frac{π}{2}$，并求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 在△ABC中使用正弦定理得出∠ACB=90°，即AC⊥BC，又AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥BC，故BC⊥平面ACC₁A₁，于是BC⊥CD，由BC∥B₁C₁得出B₁C₁⊥CD，利用棱柱的體積公式求出棱柱的體積．

解答 證明：在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，即$\frac{2}{sin∠ACB}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
∴sin∠ACB=1，即$∠ACB=\frac{π}{2}$，∴BC⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AA₁，又AC?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面平面ACC₁A₁，CD?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥CD，∵BC∥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥CD，
∴異面直線B₁C₁與CD所成角為$\frac{π}{2}$．
∵AB=2，BC=1，∠ACB=$\frac{π}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×2$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱柱的體積計算，屬于中檔題．