Question

【題目】某單位實(shí)行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：
根據(jù)下表信息解答以下問題：

休假次數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	5	10	20	15

（1）從該單位任選兩名職工，用η表示這兩人休年假次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x2﹣ηx﹣1在區(qū)間（4，6）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P；
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x2﹣ηx﹣1過（0，﹣1）點(diǎn)，在區(qū)間（4，6）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則必有 ，解得： η＜ ，

所以，η=4或η=5

當(dāng)η=4時(shí)， ，

當(dāng)η=5時(shí)， P，

又η=4與η=5 為互斥事件，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式，

所以 ；

（2）解：從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，

于是

= ，

，

，

從而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P

ξ的數(shù)學(xué)期望： ．

【解析】（1）由題意有函數(shù)f（x）=x2﹣ηx﹣1在區(qū)間（4，6）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組解出，在有互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式求解即可；（2）由題意利用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，利用隨機(jī)變量的定義及隨機(jī)變量分布列的定義列出隨機(jī)變量ξ的分布列，在利用隨機(jī)變量期望的定義求出其期望．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列，以及對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)的理解，了解函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)．