Question

7．對(duì)于函數(shù)f（x），若對(duì)于任意的a，b．c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{7}{5}$，5）．

Answer 1

分析 根據(jù)“三角形函數(shù)”的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min即可，利用換元法結(jié)合分式函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$=$\frac{sinx+2+m-2}{sinx+2}$=1+$\frac{m-2}{sinx+2}$，
若m=2，則f（x）=1，此時(shí)f（x）構(gòu)成邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，滿足條件，
設(shè)t=sinx，則-1≤t≤1，
則函數(shù)f（x）等價(jià)為g（t）=1+$\frac{m-2}{t+2}$，
若m-2＞0即m＞2，此時(shí)函數(shù)g（t）在-1≤t≤1上是減函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為g（-1）=1+m-2=m-1，最小值為g（1）=1+$\frac{m-2}{3}$=$\frac{m+1}{3}$，
若f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函數(shù)”，
則滿足g（x）_max-g（x）_min＜g（x）_min即可，
即m-1-$\frac{m+1}{3}$＜$\frac{m+1}{3}$，
整理得m＜5，此時(shí)2＜m＜5，
若m-2＜0即m＜2，此時(shí)函數(shù)g（t）在-1≤t≤1上是增函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為g（-1）=1+m-2=m-1，最大值為g（1）=1+$\frac{m-2}{3}$=$\frac{m+1}{3}$，
若f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函數(shù)”，
則滿足g（x）_max-g（x）_min＜g（x）_min即可，
即$\frac{m+1}{3}$-（m-1）＜m-1，
整理得m＞$\frac{7}{5}$，此時(shí)$\frac{7}{5}$＜m＜2，
綜上$\frac{7}{5}$＜m＜5，
故答案為：（$\frac{7}{5}$，5）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)“三角形函數(shù)”的定義，轉(zhuǎn)化為求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．