Question

7．對于函數(shù)f（x），若對于任意的a，b．c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長，則稱f（x）為“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{7}{5}$，5）．

Answer 1

分析 根據“三角形函數(shù)”的定義，判斷函數(shù)的單調性，轉化為求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min即可，利用換元法結合分式函數(shù)的單調性的性質進行討論求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$=$\frac{sinx+2+m-2}{sinx+2}$=1+$\frac{m-2}{sinx+2}$，
若m=2，則f（x）=1，此時f（x）構成邊長為1的等邊三角形，滿足條件，
設t=sinx，則-1≤t≤1，
則函數(shù)f（x）等價為g（t）=1+$\frac{m-2}{t+2}$，
若m-2＞0即m＞2，此時函數(shù)g（t）在-1≤t≤1上是減函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為g（-1）=1+m-2=m-1，最小值為g（1）=1+$\frac{m-2}{3}$=$\frac{m+1}{3}$，
若f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函數(shù)”，
則滿足g（x）_max-g（x）_min＜g（x）_min即可，
即m-1-$\frac{m+1}{3}$＜$\frac{m+1}{3}$，
整理得m＜5，此時2＜m＜5，
若m-2＜0即m＜2，此時函數(shù)g（t）在-1≤t≤1上是增函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為g（-1）=1+m-2=m-1，最大值為g（1）=1+$\frac{m-2}{3}$=$\frac{m+1}{3}$，
若f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函數(shù)”，
則滿足g（x）_max-g（x）_min＜g（x）_min即可，
即$\frac{m+1}{3}$-（m-1）＜m-1，
整理得m＞$\frac{7}{5}$，此時$\frac{7}{5}$＜m＜2，
綜上$\frac{7}{5}$＜m＜5，
故答案為：（$\frac{7}{5}$，5）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據“三角形函數(shù)”的定義，轉化為求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．