Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=

1

2

CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．
（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求證：BC⊥平面BDE；
（3）求點(diǎn)D到平面BEC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證AM∥平面BEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AM與平面BEC內(nèi)一直線平行，取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN，根據(jù)中位線定理和條件可知MN∥AB，且MN=AB，從而得到四邊形ABNM為平行四邊形，則BN∥AM，BN?平面BEC，且AM?平面BEC，滿足定理所需條件；
（2）欲證BC⊥平面BDE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，根據(jù)勾股定理可知BC⊥BD，滿足定理所需條件；
（3）過點(diǎn)D作EB的垂線交EB于點(diǎn)G，則DG⊥平面BEC，從而點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線段DG的長度，在直角三角形BDE中，利用等面積法即可求出DG，從而求出點(diǎn)D到平面BEC的距離．

解答：解：
（1）證明：取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN．
在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）
所以四邊形ABNM為平行四邊形．
所以BN∥AM．（4分）
又因?yàn)锽N?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．（5分）
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．（7分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．（8分）
所以BC⊥平面BDE．（10分）
（3）由（2）知，BC⊥平面BDE
又因?yàn)锽C?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）
過點(diǎn)D作EB的垂線交EB于點(diǎn)G，則DG⊥平面BEC
所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線段DG的長度（12分）
在直角三角形BDE中，
S△BDE=

1

2

BD•DE=

1

2

BE•DG
所以DG=

BD•DE

BE

=

2

3

=

6

3

所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于

6

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的判定和點(diǎn)到面的距離的度量等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于綜合題．