Question

【題目】已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的2倍，左焦點(diǎn)為.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，不過C左、右頂點(diǎn)的直線l：與C相交于M，N兩點(diǎn)，且.請問：直線l是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)、長軸長和短軸長關(guān)系、橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到所求方程；

（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形式；根據(jù)垂直關(guān)系可得，代入韋達(dá)定理的結(jié)果可整理得到，進(jìn)而解得，；分別驗(yàn)證兩個(gè)結(jié)果可知滿足題意，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可確定定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由題意得：，解得：

的方程為：

（2）設(shè)，

由得：

則，化簡得：…①

，

又

，即

又

即

化簡為：

解得：，，均滿足①式

當(dāng)時(shí)，，直線過點(diǎn)，不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)

綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為