Question

13．設(shè)${z_1}，{z_2}∈C，z_1^2-2{z_1}{z_2}+4z_2^2=0，|{z_2}|=2$，那么以|z₁|為直徑的圓的面積為（　　）

• A． π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 由已知可得：$（\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}）^{2}-2\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$+4=0，解得$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$1±\sqrt{3}$i，即可得出．

解答 解：∵${z_1}，{z_2}∈C，z_1^2-2{z_1}{z_2}+4z_2^2=0，|{z_2}|=2$，
∴$（\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}）^{2}-2\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$+4=0，
解得$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{2±2\sqrt{3}i}{2}$=$1±\sqrt{3}$i，
∴|z₁|=|z₂||1$±\sqrt{3}$i|=4，
∴以|z₁|為直徑的圓的面積為2²π=4π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法、復(fù)數(shù)的幾何意義、圓的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．