Question

【題目】已知雙曲線M： =1（a＞0，b＞0）的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，B為虛軸的端點(diǎn)，離心率e= ，且S△ABF=1﹣ ．拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F．
（1）求雙曲線M和拋物線N的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)？如果經(jīng)過，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由雙曲線M： =1（a＞0，b＞0）的離心率e= = ，①

三角形的面積S= （c﹣a）b=1﹣ ，②

由c2=a2+b2，③

解得：a= ，b=1，c=2，

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ，則雙曲線的上焦點(diǎn)F（0，2），

則拋物線N的方程：x2=8y；

（2）

解：由（1）可得拋物線N的方程：x2=8y，準(zhǔn)線方程y=﹣2，

由y= x2，y′= x，設(shè)P（x0， x02），則直線l的方程y﹣ x02= x0（x﹣x0），

即y= x0x﹣ x02，聯(lián)立y=﹣2，則Q（ ，﹣2），

假設(shè)存在定點(diǎn)M（0，m）滿足假設(shè)條件，則 =0，對(duì)任意點(diǎn)恒成立，

則 =（x0， x02﹣m）， =（ ，﹣2﹣m），

∴ ﹣（m+2）（ x02﹣m）=0，即 x02+m（m+2）﹣8=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x0（x0≠0）恒成立，

，解得：m=2，

∴以PQ為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)M（0，2）．

【解析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式及三角形的面積公式，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得p的值，求得拋物線N的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，聯(lián)立y=﹣2，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)，由 x02+m（m+2）﹣8=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x0（x0≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．