Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且∠A=80°，a²=b（b+c），求∠C．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：已知等式變形，利用正弦定理化簡，利用二倍角的余弦函數(shù)公式及和差化積公式變形，再利用誘導(dǎo)公式化簡，得到∠A與∠B的關(guān)系，由∠A的度數(shù)求出∠B的度數(shù)，進而求出∠C的度數(shù)即可．

解答： 解：∵a²=b（b+c），
∴a²=b²+bc，
由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴sin²A=sin²B+sinBsinC，即

1-cos2A

2

=

1-cos2B

2

+sinBsinC，
整理得：-

cos2A-cos2B

2

=sinBsinC，
化簡得：sin（A+B）sin（A-B）=sinBsinC，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B=180°-∠C，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴sin（A-B）=sinB，
∴∠A-∠B=∠B，即∠A=2∠B，
∵∠A=80°，
∴∠B=40°，
則∠C=180°-80°-40°=60°．

點評：此題考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．