Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4ax-3
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式f（x）＞0可化為（x-1）（x-3）＜0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0恒成立，則

a＜0 △≤0

或a=0，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，
不等式f（x）＞0即ax²-4ax-3＞0可化為：-x²+4x-3＞0
即x²-4x+3＜0，
即（x-1）（x-3）＜0，
解得1＜x＜3，
故不等式f（x）＞0的解集為（1，3）．…（5分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式ax²-4ax-3≤0恒成立；…（7分）
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，要使得不等式ax²-4ax-3≤0恒成立，
只需

a＜0 △≤0

，
即

a＜0 (-4a)2-a(-3)≤0

，
解得

a＜0 - 3 4 ≤a≤0

，
即-

3

4

≤a＜0…（10分）
綜上所述，a的取值范圍為-

3

4

≤a≤0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．