Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]，設(shè)x=α?xí)r，f（x）取到最大值．求f（x）的最大值及α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)三角函數(shù)恒等變形化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，由x∈[

π

4

，

π

2

]，可解得f（x）∈[2，3]，由x=α?xí)r，f（x）取到最大值，即可解得f（x）的最大值及α的值．

解答： 解：∵f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x
=1-cos（2x+

π

2

）-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）+1
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1∈[2，3]
∵x=α?xí)r，f（x）取到最大值．
∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

時(shí)，即x=

5π

12

時(shí)，f（x）取到最大值3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二倍角的正弦，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．