分析 (1)若0<an<$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,則0<1+an<1+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,可得an+1=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$>$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$;
(2)仿(1)可得,若an>$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,則an+1<$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.則n≥2時|an-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|+|an+1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|=|an+1-an|=$\frac{|{a}_{n}-{a}_{n-1}|}{|(1+{a}_{n})(1+{a}_{n-1})|}$,由an>0,可得an+1=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$<1 ( n∈N*),n≥2時,an=$\frac{1}{1+{a}_{n-1}}$>$\frac{1}{2}$,又a1=$\frac{1}{2}$,可得n≥2時,(1+an) (1+an-1)=(1+$\frac{1}{1+{a}_{n-1}}$) (1+an-1)=2+an-1≥$\frac{5}{2}$.利用遞推放縮可得|an+1-an|≤$\frac{2}{5}$|an-an-1|≤…≤($\frac{2}{5}$)n-1|a2-a1|=$\frac{1}{6}$×($\frac{2}{5}$)n-1,數(shù)列{$\frac{1}{6}$×($\frac{2}{5}$)n-1}遞減,即可得出.
解答 (1)證明:若0<an<$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,則0<1+an<1+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
則an+1=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$>$\frac{1}{1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)解:仿(1)可得,若an>$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,則an+1<$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
則n≥2時|an-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|+|an+1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|=|an+1-an|
=$|\frac{1}{1+{a}_{n}}-\frac{1}{1+{a}_{n-1}}|$=$\frac{|{a}_{n}-{a}_{n-1}|}{|(1+{a}_{n})(1+{a}_{n-1})|}$,
∵an>0,∴an+1=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$<1 ( n∈N*),
∴n≥2時,an=$\frac{1}{1+{a}_{n-1}}$>$\frac{1}{2}$,又a1=$\frac{1}{2}$,
∴n≥2時,(1+an) (1+an-1)=(1+$\frac{1}{1+{a}_{n-1}}$) (1+an-1)=2+an-1≥$\frac{5}{2}$,
∴|an+1-an|=$\frac{|{a}_{n}-{a}_{n-1}|}{(1+{a}_{n})(1+{a}_{n-1})}$≤$\frac{2}{5}$|an-an-1|≤($\frac{2}{5}$)2|an-1-an-2|
≤…≤($\frac{2}{5}$)n-1|a2-a1|=$\frac{1}{6}$×($\frac{2}{5}$)n-1,
數(shù)列{$\frac{1}{6}$×($\frac{2}{5}$)n-1}遞減,$\frac{1}{6}$×($\frac{2}{5}$)7-1<0.001,
只要N≥7,當n≥N時必有|an+1-an|<0.001,
即|an-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|+|an+1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|<0.001成立.
點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、放縮法、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(k)+$\frac{1}{3(k+1)+1}$ | B. | f(k)+$\frac{2}{3k+2}$ | ||
C. | f(k)+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$ | D. | f(k)+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$ |
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A. | x+y-4=0 | B. | x-y+2=0 | C. | x+y+4=0 | D. | x-y-2=0 |
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A. | (-∞,-2) | B. | (-∞,0) | C. | (2,+∞) | D. | (1,+∞) |
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A. | 57 | B. | 59 | C. | 61 | D. | 63 |
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