Question

15．設函數(shù)f（x）=e^ax（a∈R）．
（I）當a=-2時，求函數(shù)g（x）=x²f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=$\frac{{x}^{2}}{f（x）}$-1在區(qū)間（0，16）內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=-2時，利用導數(shù)求出函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的最大值即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意，求出函數(shù)h（x）的導數(shù)h′（x），則h（x）在（0，16）內(nèi)有兩個零點，根據(jù)h（x）在（0，16）的最值列出不等式組，從而求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=-2時，函數(shù)f（x）=e^-2x，
∴函數(shù)g（x）=x²e^-2x，
∴g′（x）=2xe^-2x+x²e^-2x•（-2）=2x（1-x）e^-2x，
令g′（x）=0，解得x=0或x=1；
∴當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；
∴在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)g（x）的最大值是g（1）=e^-2；
（Ⅱ）∵函數(shù)h（x）=$\frac{{x}^{2}}{f（x）}$-1=x²e^-ax-1，
∴h′（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x），
令h′（x）=0，∵e^-ax＞0，
∴-ax²+2x=0，解得x=0或x=$\frac{2}{a}$（a≠0）；
又h（x）在（0，16）內(nèi)有兩個零點，
∴h（x）在（0，16）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；
∴$\frac{2}{a}$∈（0，16），解得a＞$\frac{1}{8}$①；
又x∈（0，$\frac{2}{a}$）時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，
x∈（$\frac{2}{a}$，16）時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，
∴在（0，16）上h_max（x）=h（$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{{a}^{2}}$e^-2-1；
令$\frac{4}{{a}^{2}}$e^-2-1＞0，解得-$\frac{2}{e}$＜a＜$\frac{2}{e}$②；
又$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＜0}\\{h（16）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜0}\\{25{6e}^{-16a}-1＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{1}{2}$ln2③；
由①②③組成不等式組，解得$\frac{1}{2}$ln2＜a＜$\frac{2}{e}$；
∴實數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{2}$ln2＜a＜$\frac{2}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與導數(shù)的綜合應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應用問題，是綜合性題目．