Question

7．已知函數(shù)y=2cos（x-$\frac{π}{4}$），求：
（1）求此函數(shù)的最大值是多少？
（2）此函數(shù)圖象的對稱中心及對稱軸；
（3）當x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]時，求函數(shù)的值域；
（4）當y≤$\sqrt{2}$時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的最值，求得函數(shù)y=2cos（x-$\frac{π}{4}$）的最大值．
（2）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得此函數(shù)圖象的對稱中心及對稱軸．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]時，求函數(shù)的值域．
（4）當y≤$\sqrt{2}$時，求得sin（x-$\frac{π}{4}$ ）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 2kπ+$\frac{π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=2cos（x-$\frac{π}{4}$）的最大值為2．
（2）令x-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=kπ+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的對稱中心為（kπ+$\frac{π}{4}$，0），k∈Z．
令x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{3π}{4}$，可得函數(shù)的對稱軸方程為 x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z．
（3）當x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]時，x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，故sin（x-$\frac{π}{4}$ ）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．
（4）當y≤$\sqrt{2}$ 時，求得sin（x-$\frac{π}{4}$ ）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 2kπ+$\frac{π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，
求得 2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+π．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的最大值、對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，解三角不等式，屬于基礎題．