已知函數(shù)f(x)=log2(ax2+2x+3)
(1)若f(1)=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若已知函數(shù)的值域為R,求a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值為0?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
考點:對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)代入值計算即可
(2)函數(shù)f(x)定義域為R則,ax2+2x+3>0,x∈R上恒成立,根據(jù)二次函數(shù)性值判斷條件.
(3)存在實數(shù)a,使f(x)的最小值為1,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,可判斷即a>0,g(x)min=g(-
1
a
)=1,求出a的值
解答: 解(1)∵f(1)=1,
∴l(xiāng)og2(a+2+3)=1=log22,
∴a+2+3=2,
解得a=-3,
(2)∵已知函數(shù)的值域為R,
∴ax2+2x+3>0恒成立,
a>0
△<0
,
a>0
4-12a<0

解得a>
1
3

(3)令g(x)=ax2+2x+3,有題意知,要使f(x)取最小值為0,則函數(shù)g(x)需取得最小值1,
拋物線開口向上,即a>0,
g(x)min=g(-
1
a
)=1,
1
a
-
2
a
+3=1,
∴a=
1
2
滿足條件.
點評:本題考查了對數(shù)函數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì),特別是單調(diào)性,最值問題,綜合考察要求對函數(shù)理解很深刻,應(yīng)用靈活.
練習(xí)冊系列答案
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