Question

（2007•南京二模）已知F為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸進(jìn)線l₁，l₂分別交于點(diǎn)M，N，與橢圓交于點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）若∠MON=

π

3

，雙曲線的焦距為4．求橢圓方程．
（Ⅱ）若

OM

•

MN

=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），

FA

=

1

3

AN

，求橢圓的離心率e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線的兩條漸近線的夾角以及雙曲線的焦點(diǎn)位置可得到關(guān)于a，b的等式，再根據(jù)雙曲線的焦距又可得到一個(gè)含a，b的等式，解得a，b的值，代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1中，即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）根據(jù)

OM

•

MN

=0可知直線l垂直于l₁，因?yàn)閘₁是雙曲線的漸近線，可求出l₁的方程，再根據(jù)l垂直于l₁，就可得到l的斜率，再根據(jù)F點(diǎn)坐標(biāo)求出直線l的方程，再由

FA

=

1

3

AN

求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，就可得到關(guān)于a，c的齊次式，因?yàn)殡x心率e=

c

a

，即可求出離心率e．

解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點(diǎn)在x軸上，
∴漸近線方程為y=±

b

a

x
∴漸進(jìn)線l₁的斜率為

b

a

又∵∠MON=

π

3

，M，N是直線l與雙曲線兩條漸近線l₁，l₂的交點(diǎn)，
∴漸進(jìn)線l₁的傾斜角為

π

6

，
∴

b

a

=tan

π

6

=

3

3

，即a=

3

b
∵雙曲線的焦距為4，
∴a²+b²=4．
把a=

3

b代入，得，a²=3，b²=1
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，0）
∵

OM

•

ON

=0，∴l(xiāng)⊥l₁
∵直線l₁的方程為y=-

b

a

x，∴直線l的斜率為

a

b

，
∴直線l的方程為y=

a

b

(x-c)
聯(lián)立l₁，l方程，由

y= a b (x-c) y= b a x

解得

x= a2 c y= ab c

即點(diǎn)N(

a2

c

，

ab

c

)
設(shè)A（x，y），由

FA

=

1

3

AN

，得(x-c，y)=

1

3

(

a2

c

-x，

ab

c

-y)
即

x-c= 1 3 ( a2 c -x) y= 1 3 ( ab c -y)

，解得，

x= 3c2+a2 4c y= ab 4c

∴A(

3c2+a2

4c

，

ab

4c

)
∵點(diǎn)A在橢圓上，代入橢圓方程，得

(3c2+a2)2

16a2c2

+

a2

16c2

=1
即 （3c²+a²）²+a⁴=16a²c²，
∴（3e²+1）²+1=16e²，即9e⁴-10e²+2=0
解得e2=

5± 7

9

∴e=

5± 7

3

橢圓的離心率是e=

5± 7

3

點(diǎn)評(píng)：本題（Ⅰ）主要考查了雙曲線的漸近線方程，以及雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系的應(yīng)用．（Ⅱ）考查了直線與圓錐曲線關(guān)系的判斷，以及橢圓離心率的求法．