Question

7．已知直線$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）恒過(guò)橢圓$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)）在右焦點(diǎn)F．
（1）求m的值；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，可得F的坐標(biāo)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，0），可求m的值；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|FA|•|FB|的最大值與最小值．

解答 解：（1）橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴a=5，b=3，c=4，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0）．
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，0），∴m=4．…（4分）
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理得：（9cos²α+25sin²α）t²+72tcosα-81=0．
設(shè)點(diǎn)A，B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{81}{9co{s}^{2}α+25si{n}^{2}α}$=$\frac{81}{9+16si{n}^{2}α}$．…（8分）
當(dāng)sinα=0時(shí)，|FA|•|FB|取最大值9；
當(dāng)sinα=±1時(shí)，|FA|•|FB|取最小值$\frac{81}{25}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化成普通方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用參數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵．