Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，x＞0\\{x^2}+4x+1，x≤0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程 f²（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8個不同的實數(shù)根，則$\frac{c-2}{b-1}$的取值范圍為（-∞，-1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 題中原方程f²（x）-bf（x）+c=0有8個不同實數(shù)解，即要求對應(yīng)于f（x）=某個常數(shù)K，有2個不同的K，再根據(jù)函數(shù)對應(yīng)法則，每一個常數(shù)可以找到4個x與之對應(yīng)，就出現(xiàn)了8個不同實數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有滿足條件的K在開區(qū)間（0，1）時符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．

解答 解：根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：

由圖象可得當f（x）∈（0，1]時，有四個不同的x與f（x）對應(yīng)．
再結(jié)合題中“方程f²（x）-bf（x）+c=0有8個不同實數(shù)解”，
可以分解為形如關(guān)于k的方程k²-bk+c=0有兩個不同的實數(shù)根K₁、K₂，
且K₁和K₂均為大于0且小于等于1的實數(shù)，
列式如下：$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-4c＞0}\\{0＜\frac{2}＜1}\\{{0}^{2}-b×0+c＞0}\\{{1}^{2}-b+c≥0}\end{array}\right.$，化簡得 $\left\{\begin{array}{l}{c＜\frac{^{2}}{4}}\\{1-b+c≥0}\\{c＞0}\\{0＜b＜2}\end{array}\right.$，
此不等式組表示的區(qū)域如圖：

而$\frac{c-2}{b-1}$幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點和（1，2）的直線的斜率，
結(jié)合圖象K_OA=2，K_AB=-1，
故z＞2或z＜-1，
故答案為：（-∞，-1]∪[2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，同時考查線性規(guī)劃等知識，較為綜合；采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．