Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-a²x²+ax，a∈R，且a≠0．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=（3a+1）x-（a²+a）x²，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出a的取值范圍，
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為lnx-x＜2ax-ax²，在（1，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-x，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值，得到ax²-2ax-1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-a²x²+ax，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2a²x+a=$\frac{-2{a}^{2}x+ax+1}{x}$=$\frac{-（2ax+1）（ax-1）}{x}$．
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，不合題意．
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＜0（x＞0）等價(jià)于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞$\frac{1}{a}$．
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）．
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$解之，得a≥1．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0（x＞0）等價(jià)于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞-$\frac{1}{2a}$．
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{2a}$，+∞）．
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}≤1}\\{a＜0}\end{array}\right.$解之，得a≤-$\frac{1}{2}$．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．
（2）∵g（x）=（3a+1）x-（a²+a）x²，
∴f（x）-g（x）=lnx-（2a+1）x+ax²＜0，
即lnx-x＜2ax-ax²，在（1，+∞）恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-x，
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=-1，
∴ax²-2ax-1＜0，在（1，+∞）上恒成立，
設(shè)φ（x）=ax²-2ax-1
當(dāng)a=0時(shí)，-1＜0，符合題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，顯然不滿足題意，
當(dāng)a＜0，由于對(duì)稱軸x=1，則φ（1）＜0，即a-2a-1＜0，解得-1＜a＜0，
綜上所述，a的取值范圍為（-1，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及最值的關(guān)系，和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．