Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（2a+2）x+（2a+1）lnx．
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）對任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，x₁，x₂∈[1，2]（x₁≠x₂），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜λ|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，求正實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，求出極值點，通過2a+1與0與1的大小討論，再由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（2）求出2a+1的范圍，可得f（x）在[1，2]遞減，由題意可得原不等式即為f（x₁）-λ•$\frac{1}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-λ•$\frac{1}{{x}_{2}}$
對任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，x₁，x₂∈[1，2]恒成立，令g（x）=f（x）-$\frac{λ}{x}$，即有g(shù)（x₁）＜g（x₂），即為g（x）在[1，2]遞增，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0，再由一次函數(shù)的單調(diào)性可得只需 2（2x-2x²）a+x³-2x²+x+λ≥0．對x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x³-6x²+5x+λ，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最小值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（2a+2）x+（2a+1）lnx的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=x-（2a+2）+$\frac{2a+1}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2a-1）}{x}$，x＞0，由f′（x）=0，解得x=1或x=2a+1，
①當(dāng)2a+1≤0即a$≤-\frac{1}{2}$時，由f′（x）＞0，可得1＜x；f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
f（x）的增區(qū)間為：（1，+∞）；減區(qū)間為（0，1）．
②當(dāng)0＜2a+1＜1時，即-$\frac{1}{2}＜a＜0$時，
由題意可得由f′（x）＞0，可得0＜x＜2a+1或1＜x；f′（x）＜0，可得2a+1＜x＜1．
即有f（x）的增區(qū)間為（0，2a+1），（1，+∞）；減區(qū)間為（2a+1，1）；
③當(dāng)2a+1=1時，即a=0時，
由題意可得由f′（x）≥0，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
④當(dāng)1＜2a+1時，即a＞0時，
由題意可得由f′（x）＞0，可得0＜x＜1或2a+1＜x；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．
即有f（x）的增區(qū)間為（0，1），（2a+1，+∞）；減區(qū)間為（1，2a+1）；
（2）由a∈[$\frac{1}{2}$，2]，可得2a+1∈[3，5]，
由（1）可得f（x）在[1，2]遞減．
設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，即有f（x₁）＞f（x₂），$\frac{1}{{x}_{1}}$＞$\frac{1}{{x}_{2}}$，
原不等式即為f（x₁）-λ•$\frac{1}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-λ•$\frac{1}{{x}_{2}}$
對任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，x₁，x₂∈[1，2]恒成立，
令g（x）=f（x）-$\frac{λ}{x}$，即有g(shù)（x₁）＜g（x₂），即為g（x）在[1，2]遞增，
即有g(shù)′（x）≥0對任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，x₁，x₂∈[1，2]恒成立，
即x-（2a+2）+$\frac{2a+1}{x}$+$\frac{λ}{{x}^{2}}$≥0，即為x³-（2a+2）x²+（2a+1）x+λ≥0，
則（2x-2x²）a+x³-2x²+x+λ≥0，a∈[$\frac{1}{2}$，2]，
由x∈[1，2]，可得2x-2x²≤0，只需a=2，（2x-2x²）2+x³-2x²+x+λ≥0．
即x³-6x²+5x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，
令h（x）=x³-6x²+5x+λ，h′（x）=3x²-12x+5≤0在1≤x≤2恒成立，
則有h（x）在[1，2]遞減，可得h（2）取得最小值，且為8-24+10+λ≥0，
解得λ≥6．即有正數(shù)λ的取值范圍是[6，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性，考查運算能力，具有一定的難度．