Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)AB的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱的最小值為點(diǎn)P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C，都有

②已知點(diǎn)P(2,1)和直線,則

③定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).

其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

①討論三點(diǎn)共線和不共線，結(jié)合圖象與新定義即可判斷；

②設(shè)點(diǎn)直線一點(diǎn)，且，可得，討論即可得出即可判斷；

③討論點(diǎn)在坐標(biāo)軸和各個(gè)象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．

解：①對(duì)任意三點(diǎn)、、，

若它們共線，設(shè)，、，、，，如圖，

結(jié)合三角形的相似可得,,分別為,,或,,，

則；

若,或,對(duì)調(diào)，可得；

若它們不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，

由矩形或矩形，

；

則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有；

故①正確；

②設(shè)點(diǎn)直線一點(diǎn)，且，可得，

由，解得，即有，

當(dāng)時(shí)，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范圍是，無(wú)最值，

綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為，

故②錯(cuò)誤；

③定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，

可得不軸上，在線段間成立，

可得，解得，

由對(duì)稱性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿足條件；

若在第一象限內(nèi)，滿足即為，為射線，

由對(duì)稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，

故③正確；

真命題的個(gè)數(shù)是2，

故選：C．