Question

6．如圖．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側(cè)棱與底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E為BB₁的中點，M為AC上一點，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
（I）證明：CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）若二面角C₁-A₁E-M的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求AA₁的長度．

Answer 1

分析 （I）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系求出F的坐標(biāo)，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明證明：CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 （I）如圖，連接AB₁，交A₁E于F，連接MF，
∵E為BB₁的中點，
∴建立以A為坐標(biāo)原點，AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
設(shè)AA₁=h，
則A（0，0，0），C₁（0，1，h），A₁（0，0，h），E（2，0，$\frac{h}{2}$），M（0，$\frac{2}{3}$，0），
B₁（2，0，h），設(shè)F（x，0，z），
則$\overrightarrow{AF}$∥$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{A}_{1}F}$∥$\overrightarrow{{A}_{1}E}$，
∵$\overrightarrow{AF}$=（x，0，z），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，h），∴$\frac{x}{2}=\frac{z}{h}$  ①
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（x，0，z-h），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（2，0，-$\frac{h}{2}$），∴$\frac{x}{2}$=$\frac{z-h}{-\frac{h}{2}}$ ②，
由①②得z=$\frac{2}{3}$h，x=$\frac{2}{3}$，
或F作FT⊥AB，
則$\frac{FT}{B{B}_{1}}$=$\frac{AF}{A{B}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，則∴AF=$\frac{2}{3}$AB₁，
∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
∴MF∥CB₁，
∵MF?平面平面A₁EM，CB₁?平面A₁EM，
∴CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）設(shè)平面C₁A₁E的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面MA₁E的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{2x-\frac{hz}{2}=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，令z=1，則x=$\frac{h}{4}$，y=0，
則$\overrightarrow{n}$=（$\frac{h}{4}$，0，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{2x-\frac{hz}{2}=0}\\{\frac{2y}{3}-hz=0}\end{array}\right.$，令z=1，則x=$\frac{h}{4}$，y=$\frac{3h}{2}$，
即$\overrightarrow{m}$=（$\frac{h}{4}$，$\frac{3h}{2}$，1）
|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1+\frac{{h}^{2}}{16}}{\sqrt{1+\frac{{h}^{2}}{16}}•\sqrt{1+\frac{{h}^{2}}{16}+\frac{9{h}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
得h²=2，即h=$\sqrt{2}$，
則AA₁的長度為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查空間直線和平面平行的判定依據(jù)二面角的應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．