Question

10．關(guān)于x的方程$\frac{1}{||x-1|-1|}$=|sin$\frac{1}{2}πx$|在[-2016，2016]上解的個(gè)數(shù)為4031．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：y=$\frac{1}{||x-1|-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{1}{x}，0＜x≤1}\\{\frac{1}{2-x}，1＜x＜2}\\{\frac{1}{x-2}，x＞2}\end{array}\right.$，
作函數(shù)y=$\frac{1}{||x-1|-1|}$與y=|sin$\frac{1}{2}$πx|在[-2016，2016]上的圖象如下，
由圖象知函數(shù)y=|sin$\frac{1}{2}πx$|的周期是2，兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于x=1對(duì)稱，
當(dāng)x≤0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)都有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)在[-2016，0]內(nèi)有1008×2=2016個(gè)交點(diǎn)，
在[0，2]內(nèi)兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x≥2時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)都有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)在[2，2016]內(nèi)有1007×2=2014個(gè)交點(diǎn)，
則在[-2016，2016]上解的個(gè)數(shù)為2016+1+2014=4031，
故答案為：4031

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根式的個(gè)數(shù)的求解，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．