已知橢圓的焦距為，過(guò)右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn)，記面積的最大值為，證明：.

（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）利用題干中的已知條件分別求出、、，從而寫(xiě)出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，并求出原點(diǎn)到直線的距離，然后以為底邊，為高計(jì)算的面積，利用基本不等式驗(yàn)證時(shí)和時(shí)的最大面積與，從而證明題中的結(jié)論.
試題解析：（1）由題意，得橢圓的半焦距，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，
所以直線的斜率為，
解得，
由，得，
所以橢圓W的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，其中或，，.
由方程組得，
所以，（*）
由韋達(dá)定理，得，.
所以.
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，
所以，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/ce/d/kmrjj.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值，
驗(yàn)證知（*）成立；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/1a/b/rd10z1.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值；
驗(yàn)證知（*）成立.
所以.
注：本題中對(duì)于任意給定的，的面積的最大值都是.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.弦長(zhǎng)公式；2.點(diǎn)到直線的距離；4.基本不等式

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點(diǎn)M

(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；
(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

拋物線，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求證：；
（2）過(guò)作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于原點(diǎn)），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時(shí)的方程；
（2）若橢圓最圓時(shí)任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個(gè)定圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程；
（3）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，
求證：線段的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)，在焦點(diǎn)在軸上的橢圓上求一點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點(diǎn)（的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定橢圓：，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程，
并證明；
（ⅱ）求證：線段的長(zhǎng)為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線＝1的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程．

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