【題目】已知圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),若P是圓C與x軸的交點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l (Ⅰ)求直線l的極坐標(biāo)方程
(Ⅱ)求圓C上到直線ρ(cosθ+ sinθ)+6=0的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo).
【答案】解:(Ⅰ)∵圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),
∴圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ,得圓C的普通方程為(x﹣1)2+(y﹣ )2=4,
∵P是圓C與x軸的交點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l
由題設(shè)知,圓心C(1, ),P(2,0),
∠CPO=60°,故過P點(diǎn)的切線的傾斜角為30°,
設(shè)M(ρ,θ)是過P點(diǎn)的圓C的切線上的任一點(diǎn),
則在△PMO中,∠MOP=θ,∠OMP=30°﹣θ,∠OPM=150°,
由正弦定理得 ,
∴ ,
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+60°)=1.
(Ⅱ)∵直線ρ(cosθ+ sinθ)+6=0,
∴直線的直角坐標(biāo)方程為x+ y+6=0,
設(shè)圓上的點(diǎn)M(1+2cosθ, ),
點(diǎn)M到直線的距離:
d= = ,
∴當(dāng)θ= 時,點(diǎn)M到直線的距離取最大值 .此時M(2,2 ),
∴圓C上到直線ρ(cosθ+ sinθ)+6=0的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,2 ).
【解析】(Ⅰ)圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ,得圓C的普通方程為(x﹣1)2+(y﹣ )2=4,由題設(shè)知,圓心C(1, ),P(2,0),過P點(diǎn)的切線的傾斜角為30°,設(shè)M(ρ,θ)是過P點(diǎn)的圓C的切線上的任一點(diǎn),由正弦定理得 ,由此能求出直線l的極坐標(biāo)方程.(Ⅱ)直線的直角坐標(biāo)方程為x+ y+6=0,設(shè)圓上的點(diǎn)M(1+2cosθ, ),求出點(diǎn)M到直線的距離d= ,當(dāng)θ= 時,點(diǎn)M到直線的距離取最大值,由此能求出圓C上到直線ρ(cosθ+ sinθ)+6=0的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+1(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線l垂直于直線y=x,求實(shí)數(shù)a的值及直線l的方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若x>1,求證:lnx<x﹣1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓 =1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別為橢 圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B、
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若 =2 , = ,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個多面體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖,M,N分別為A1B,B1C1的中點(diǎn).
下列結(jié)論中正確的個數(shù)有 ( )
①直線MN與A1C相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱錐N-A1BC的體積為=a3.
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG.
(1)求證:EC⊥CD.
(2)求證:AG∥平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(m,1),B(-3,4),直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(1,m),D(-1,m+1),當(dāng)l1∥l2或l1⊥l2時,分別求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣相鄰兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為A(1,2)、B(4,0),一條河所在直線方程為l:x+2y-10=0,若在河邊l上建一座供水站P使之到A、B兩鎮(zhèn)的管道最省,問供水站P應(yīng)建在什么地方?此時|PA|+|PB|為多少?
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