Question

11．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（acosB+bcosA）cosC=2acos²$\frac{C}{2}$-a
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若B=$\frac{2π}{3}$，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，CD=$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意利用正弦定理、二倍角的余弦公式、誘導(dǎo)公式可得cosC•（sinC-sinA）=0，可得C=$\frac{π}{2}$，或C=A，從而判斷△ABC的形狀．
（2）若B=$\frac{2π}{3}$，則△ABC為等腰三角形，則A=C=$\frac{π}{6}$，BC=2BD=a，△BCD中，由余弦定理求得a²的值，可得△ABC的面積．

解答 解：（1）△ABC中，∵（acosB+bcosA）cosC=2acos²$\frac{C}{2}$-a，
∴由正弦定理可得（sinAcosB+sinBcosA）•cosC=sinA•（2${cos}^{2}\frac{C}{2}$-1），
即 sin（A+B）•cosC=sinA•cosC，即 sinC•cosC=sinA•cosC，即 cosC•（sinC-sinA）=0，
∴cosC=0 或sinC=sinA，∴C=$\frac{π}{2}$，或C=A，故△ABC為直角三角形或等腰三角形．
（2）若B=$\frac{2π}{3}$，則△ABC為等腰三角形，則A=C=$\frac{π}{6}$，BC=2BD=a，如圖所示：
∵點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，CD=$\sqrt{7}$，
△BCD中，由余弦定理可得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cosB，
即 7=a²+${（\frac{a}{2}）}^{2}$-2a•$\frac{a}{2}$•cos$\frac{2π}{3}$，∴a²=$\frac{14}{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•a•a•sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理，二倍角的余弦公式、誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．