Question

16．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{x}$+aln$\frac{1}{x}$（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{e}$，e）上有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）已知n∈N且n≥3，求證：ln$\frac{n+1}{3}$＜$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，求出函數(shù)的解析式，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)性，推出極大值．
（2）求出${f^'}（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{a（1-x）}{x^2}$，求單調(diào)區(qū)間，要使f（x）在$（\frac{1}{e}，e）$上有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{e}）＜0\\ f（1）＞0\\ f（e）＜0\end{array}\right.$，即可求解a的取值范圍．
（3）利用（1），當(dāng)a=1時，f（x）在x=1處取得最大值0，得到$ln\frac{1}{x}≤\frac{1-x}{x}$，令$x=\frac{n}{n+1}$，則$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$（n≥3），推出$ln（n+1）-lnn＜\frac{1}{n}$，利用累加法即可證明結(jié)果．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，$f（x）=1-\frac{1}{x}-lnx$
∴${f^'}（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}$，
∴x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）_極大值=f（1）=0，f（x）無極小值．
（2）${f^'}（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{a（1-x）}{x^2}$
又a＞0且$\frac{1}{e}＜x＜e$，易得f（x）在$（\frac{1}{e}，1）$上單調(diào)遞增，[1，e）單調(diào)遞減．
要使f（x）在$（\frac{1}{e}，e）$上有兩個零點(diǎn)，只需$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{e}）＜0\\ f（1）＞0\\ f（e）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-ae+a＜0\\ 1-a＞0\\ 1-\frac{a}{e}-a＜0\end{array}\right.$，
解得$\frac{e}{e+1}＜a＜1$
故a的取值范圍是$（\frac{e}{e+1}，1）$．
（3）證明：由（1）知，當(dāng)a=1時，f（x）在x=1處取得最大值0．
即$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}≤0$
∴$ln\frac{1}{x}≤\frac{1-x}{x}$
令$x=\frac{n}{n+1}$，則$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$（n≥3）
即$ln（n+1）-lnn＜\frac{1}{n}$
∴$ln\frac{n+1}{3}=ln（n+1）-ln3$=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+[ln4-ln3]$＜\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+…+\frac{1}{3}$
故$ln\frac{n+1}{3}＜\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，對數(shù)的運(yùn)算法則以及轉(zhuǎn)化思想計算能力的應(yīng)用，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，難度比較大．