【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過點(diǎn)( ,1),且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),P(p,0)是x軸上的定點(diǎn),求|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:由題意,以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,
所以 b=c,a2=2b2,則橢圓C的方程為 .
又因?yàn)闄E圓C:過點(diǎn)A( ,1),
所以 ,
故a=2,b=.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)解: |MP|2=(x﹣p)2+y2.
因?yàn)?M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),
所以 ,
故 .
所以 .
因?yàn)镸(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),
所以|x|≤2.
①若|2p|≤2,即|p|≤1,
則當(dāng)x=2p 時(shí),|MP|取最小值 ,
此時(shí)M .
②若p>1,則當(dāng)x=2 時(shí),|MP|取最小值|p﹣2|,此時(shí)M(2,0).
③若p<﹣1,則當(dāng)x=﹣2 時(shí),|MP|取最小值|p+2|,此時(shí)M(﹣2,0)
【解析】(1)由已知中以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.且橢圓C過點(diǎn)( ,1),可得:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)根據(jù)M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),P(p,0)是x軸上的定點(diǎn),求出|MP|的表達(dá)式,分類討論,可得|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2 sin( ωx)cos( ωx)+2cos2( ωx)(ω>0),且函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
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【題目】設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列,滿足數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列,中的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列,請直接寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)記,是否存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知四邊形是正方形, , , , 都是等邊三角形, 、、、分別是線段、、、的中點(diǎn),分別以、、、為折痕將四個(gè)等邊三角形折起,使得、、、四點(diǎn)重合于一點(diǎn),得到一個(gè)四棱錐.對于下面四個(gè)結(jié)論:
①與為異面直線; ②直線與直線所成的角為
③平面; ④平面平面;
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( )
A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)
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【題目】在如圖所示的多面體中, 平面 , , , , , , , 是 的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
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【題目】已知函數(shù) , ( 為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)設(shè)曲線 在 處的切線為 ,若 與點(diǎn) 的距離為 ,求 的值;
(2)若對于任意實(shí)數(shù) , 恒成立,試確定 的取值范圍;
(3)當(dāng) 時(shí),函數(shù) 在 上是否存在極值?若存在,請求出極值;若不存在,請說明理由.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+c2+ ac=b2 , sinA= .
(1)求sinC的值;
(2)若a=2,求△ABC的面積.
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【題目】設(shè)區(qū)間D=[﹣3,3],定義在D上的函數(shù)f(x)=ax3+bx+1(a>0,b∈R),集合A={a|x∈D,f(x)≥0}.
(1)若b= ,求集合A;
(2)設(shè)常數(shù)b<0 ①討論f(x)的單調(diào)性;
②若b<﹣1,求證:A=.
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