【題目】已知函數(shù) , ( 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)設(shè)曲線(xiàn) 在 處的切線(xiàn)為 ,若 與點(diǎn) 的距離為 ,求 的值;
(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù) , 恒成立,試確定 的取值范圍;
(3)當(dāng) 時(shí),函數(shù) 在 上是否存在極值?若存在,請(qǐng)求出極值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解: , .
在 處的切線(xiàn)斜率為 ,
∴切線(xiàn) 的方程為 ,即 .
又切線(xiàn) 與點(diǎn) 距離為 ,所以 ,
解之得, 或
(2)解:∵對(duì)于任意實(shí)數(shù) 恒成立,
∴若 ,則 為任意實(shí)數(shù)時(shí), 恒成立;
若 恒成立,即 ,在 上恒成立,
設(shè) 則 ,
當(dāng) 時(shí), ,則 在 上單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí), ,則 在 上單調(diào)遞減;
所以當(dāng) 時(shí), 取得最大值, ,
所以 的取值范圍為 .
綜上,對(duì)于任意實(shí)數(shù) 恒成立的實(shí)數(shù) 的取值范圍為
(3)解:依題意, ,
所以 ,
設(shè) ,則 ,當(dāng) ,
故 在 上單調(diào)增函數(shù),因此 在 上的最小值為 ,
即 ,
又 所以在 上, ,
即 在 上不存在極值
【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線(xiàn)方程,再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式代入求解.
(2)恒成立問(wèn)題進(jìn)行分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,由于x ≥ 0 ,不等式兩邊同除以x時(shí)注意對(duì)x的分類(lèi)討論.
(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間 [ 1 , e ]上的單調(diào)性,借助單調(diào)性的判斷函數(shù)有無(wú)極值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù).
(1) 若函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2) 若,不等式的解集非空,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,半圓的直徑為, 為直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn), , 為半圓上任意一點(diǎn),以為一邊作等邊三角形,設(shè) .
(1)當(dāng)為何值時(shí),四邊形面積最大,最大值為多少;
(2)當(dāng)為何值時(shí), 長(zhǎng)最大,最大值為多少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)( ,1),且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),P(p,0)是x軸上的定點(diǎn),求|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2018海南高三階段性測(cè)試(二模)】如圖,在直三棱柱中, , ,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn).
(I)是否存在一點(diǎn),使得線(xiàn)段平面?若存在,指出點(diǎn)的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(II)若點(diǎn)為的中點(diǎn)且,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(I)若a=1,求在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值;
(II)解關(guān)于x的不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某加油站20名員工日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖,如圖所示:
(1)補(bǔ)全該頻率分布直方圖在[20,30)的部分,并分別計(jì)算日銷(xiāo)售量在 [10,20),[20,30)的員工數(shù);
(2)在日銷(xiāo)量為[10,30)的員工中隨機(jī)抽取2人,求這兩名員工日銷(xiāo)量在 [20,30)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線(xiàn)y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是____________.
【答案】
【解析】∵圓C的方程可化為(x-4)2+y2=1,∴圓C的圓心為(4,0),半徑為1.由題意知,直線(xiàn)y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A(x0,kx0-2),以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),∴存在x0∈R,使得AC≤1+1成立,即ACmin≤2.
∵ACmin即為點(diǎn)C到直線(xiàn)y=kx-2的距離,
∴≤2,解得0≤k≤.∴k的最大值是.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn).
(1)若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若, ,點(diǎn)在直線(xiàn)上,已知的中點(diǎn)在軸上,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】研究函數(shù)f(x)= 的性質(zhì),完成下面兩個(gè)問(wèn)題:
①將f(2),f(3),f(5)按從小到大排列為;
②函數(shù)g(x)= (x> 0)的最大值為 .
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