如圖，三棱錐中，，，，點在平面內的射影恰為的重心，M為側棱上一動點．

（1）求證：平面平面；
（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值．

（1）詳見解析；（2）．

解析試題分析：（1）證明平面平面，證明面面垂直，先證線面垂直，即證一個平面過另一個平面的垂線，本題根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面內找一條直線與平面垂直，由已知平面，可得，由題意可知，是等腰三角形，且為重心，既得，從而得平面，可證平面平面；（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值，求線面角，傳統(tǒng)方法是找線和射影所成的角，本題找射影比較麻煩，可用向量法來求，過作的平行線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出平面的一個法向量，利用線面角的正弦值等于線和法向量所成角的余弦值即可求出直線與平面所成角的正弦值．
試題解析：（1）取中點，連接、，
∵平面，∴
等腰中，為重心，∴
∴平面 
∴平面平面               6分
（2）中， ∴
∵平面 ∴
∴ ∴
過作的平行線為軸，為軸，為軸
建立空間直角坐標系
   
∴  
設直線與平面所成角為
設平面的法向量為 
     ∴

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，,，
平面平面,若，，,，且．

（1）求證：平面； 
（2）設平面與平面所成二面角的大小為，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一點，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）證明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是以為直徑的半圓上異于、的點，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且.

（1）求證：；
（2）若異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，
且．將此平面四邊形沿折成直二面角，
連接，設中點為．

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐中,側面底面,,底面是直角梯形,,,,．

（1）求證:平面;
（2）設為側棱上一點，，試確定的值,使得二面角為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如右圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，

(1)試證：A1、G、C三點共線；
(2)試證：A1C⊥平面BC1D；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設點E、F分別為棱AC、AD的中點．

(1)求證：DC⊥平面ABC；
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點．

(1)求證://平面；
(2)求與平面BDE所成角的余弦值；
(3)線段PC上是否存在一點M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由。

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