如圖,等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一點,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,.
(1)證明:;
(2)求二面角A-BP-D的余弦值.
(1)見解析(2)
解析試題分析:
(1)要證明直線PA垂直BO,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)只需要證明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是點P在面ABCD上的投影,則有PO垂直于面ABCD,即有BO與PO垂直,三角形ABO的三條邊已知,則利用三角形的勾股定理即可證明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD內(nèi)兩條相交的直線,則BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.
(2)根據(jù)(1)利用AD,PO,BO兩兩垂直,即可分別設(shè)為x,y,z軸建立三維直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法來求解二面角,即分別求出面ABP與面BPD的法向量,法向量的夾角即為二面角或其補角,根據(jù)觀察不能發(fā)現(xiàn)該二面角是鈍角,則利用向量內(nèi)積的定義即可求出該二面角的余弦值.
試題解析:
(1)在中,,
則,∴⊥.
∵⊥平面,∴⊥.
又平面,平面,且,
∴⊥平面.
又平面,∴⊥. 6分
(2)由題知,以為坐標(biāo)原點,為軸,
建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
由已知,,∴.
因為等腰梯形,,,
所以,∴,,
,, 8分
所以,,
,.
設(shè)平面的法向量為,則,
令,故,即.
設(shè)平面的法向量為,
則,
令,∴,即.
故,
設(shè)二面角的大小為,由圖可知是鈍角,
所以二面角的余弦值為. 12分
考點:坐標(biāo)法線線垂直線面垂直法向量
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E、F、G分別是AB、AD、CD的中點,計算:
(1)·;
(2)·;
(3)EG的長;
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱柱中,底面,,,分別是棱,的中點,為棱上的一點,且//平面.
(1)求的值;
(2)求證:;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,直線平面,且
,又點,,分別是線段,,的中點,且點是線段上的動點.
證明:直線平面;
(2) 若,求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,,∥,且,,為的中點.
(1)設(shè)與平面所成的角為,二面角的大小為,求證:;
(2)在線段上是否存在一點(與兩點不重合),使得∥平面? 若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,直線平面,且
,又點,,分別是線段,,的中點,且點是線段上的動點.
(1)證明:直線平面;
(2)若,求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如下圖,在四棱柱中,底面和側(cè)面都
是矩形,是的中點,,.
(1)求證:
(2)求證:平面;
(3)若平面與平面所成的銳二面角的大小為,求線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱錐中,,,,點在平面內(nèi)的射影恰為的重心,M為側(cè)棱上一動點.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)M為的中點時,求直線與平面所成角的正弦值.
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