Question

13．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，記b_n=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}}$．且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n
（1）求證：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若S_n＜T_n恒成立，求等比數(shù)列{a_n}公比q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁＞0，公比q＞0，求出b_n，由等比數(shù)列的定義證明{b_n}是等比數(shù)列；
（2）分析q=1時與已知矛盾；當(dāng)q≠1時，由S_n＜T_n即可求得等比數(shù)列{a_n}公比q的取值范圍．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則首項(xiàng)a₁＞0，公比q＞0，
$_{n}=\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}}=\frac{（{a}_{1}{q}^{n}）^{2}}{{a}_{1}{q}^{n-1}}={a}_{1}{q}^{n+1}$，
$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{{a}_{1}{q}^{n+2}}{{a}_{1}{q}^{n+1}}=q$，為定值，
∴{b_n}是等比數(shù)列；
解：（2）若q=1，則a_n=a₁，b_n=a₁，S_n=T_n，與已知矛盾，∴q≠1；
由S_n＜T_n，得$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}＜1$，
即$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}{q}^{2}（1-{q}^{n}）}{1-q}}＜1$，得q²＞1，
即q＜-1（舍）或q＞1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了不等式的解法，是中檔題．