Question

18．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜0}\\{（x-1）^{3}+1，x≥0}\end{array}\right.$，若存在x₀，使得f（x₀）＜ax₀成立，則實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 當a＞0時，直線y=ax與y=（x-1）³+1（x≥0）相切，設切點為（m，am），求得x＞0的函數的導數，解方程可得m．可得a的值，結合圖象可得a的范圍；再由a＜0，結合圖象即可得到所求范圍．

解答 解：當a＞0時，直線y=ax與y=（x-1）³+1（x≥0）相切，
設切點為（m，am），由y=（x-1）³+1的導數為y′=3（x-1）²，
可得a=3（m-1）²，am=（m-1）³+1，解方程可得m=$\frac{3}{2}$，a=$\frac{3}{4}$．
由圖象可得a＞$\frac{3}{4}$；
當a＜0時，在x＜0時，不等式成立．
綜上可得a的范圍是（-∞，0）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）．
故答案為：（-∞，0）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）．

點評 本題考查不等式成立問題的解法，注意運用數形結合的思想方法，以及導數的運用：求切線的斜率，考查運算能力，屬于中檔題．