Question

13．己知直線2x+y-8=0與直線x-2y+1=0交于點(diǎn)P．
（1）求過點(diǎn)P且平行于直線4x-3y-7=0的直線1₁的方程；（結(jié)果都寫成一般方程形式）
（2）求過點(diǎn)P的所有直線中使原點(diǎn)O到此直線的距離最大的直線1₂的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出直線2x+y-8=0與直線x-2y+1=0的交點(diǎn)P，再由直線與直線平行的關(guān)系能求出過點(diǎn)P且平行于直線4x-3y-7=0的直線1₁的方程．
（2）當(dāng)OP⊥l₂時(shí)，原點(diǎn)O到此直線的距離最大，由此能求出直線l₂的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-8=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=3，y=2，
∴直線2x+y-8=0與直線x-2y+1=0的交點(diǎn)P（3，2），
∵過點(diǎn)P且平行于直線4x-3y-7=0的直線1₁的斜率k₁=$\frac{4}{3}$，
∴直線l₁的方程為y-2=$\frac{4}{3}$（x-3），
∴過點(diǎn)P且平行于直線4x-3y-7=0的直線1₁的方程為4x-3y-6=0．
（2）當(dāng)OP⊥l₂時(shí)，原點(diǎn)O到此直線的距離最大，
又k_OP=$\frac{2}{3}$時(shí)，則直線l₂的斜率k₂=-$\frac{3}{2}$，
∴直線l₂的方程為y-2=-$\frac{3}{2}$（x-3），即3x+2y-13=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與直線平行、直線與直線垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．