【題目】如圖,在四棱錐中,,底面為直角梯形,,分別為中點(diǎn),且,.

(1)平面;

(2)若為線段上一點(diǎn),且平面,求的值;

(3)求二面角的大小.

【答案】(1)詳見解析;(2);(3).

【解析】

(1)連結(jié),利用勾股定理逆定理可證明,又易證,可證明平面(2)連接,根據(jù)平面可得,進(jìn)而,利用中點(diǎn)可得結(jié)論(3)取的中點(diǎn)連結(jié),由(1)知,且,,建立空間直角坐標(biāo)系,求平面,平面的法向量,計(jì)算其夾角即可.

(1)證明:連結(jié)

,的中點(diǎn)

,且,

,中點(diǎn),,

由已知,

,且是平面內(nèi)兩條相交直線

平面.

(2)連接,由已知底面為直角梯形,,

則四邊形為平行四邊形

所以

因?yàn)?/span>平面,平面,平面平面,

所以

所以

因?yàn)?/span>中點(diǎn),所以中點(diǎn)

所以,又因?yàn)辄c(diǎn)的中點(diǎn).

所以.

(3)取的中點(diǎn)連結(jié),由(1)知,且,

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>

所以,,

,

由于平面,所以平面的法向量

設(shè)平面的法向量,則有

,則,,即

由題知二面角為銳二面角

所以二面角的大小為.

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1)求的方程;

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1)求給養(yǎng)快艇從港口到小島的航行時(shí)間;

2)給養(yǎng)快艇駛離港口后,最少經(jīng)過多少小時(shí)能和科考船相遇?

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