Question

6．若對(duì)任意的x＞1，函數(shù)x+xln x≥k（3x-e）（其中e是白然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），則實(shí)數(shù)k的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 整理不等式得$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k恒成立，只需求出左式的最小值即可．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最小值．

解答 解：不等式可整理為
$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k恒成立，
令f（x）=$\frac{x+xlnx}{3x-e}$，
f'（x）=$\frac{3x-2e-elnx}{（3x-e）^{2}}$，令h（x）=3x-2e-elnx，
∴h'（x）=3-$\frac{e}{x}$＞0，則h（x）為增函數(shù)，
令h（x）=0得3x-2e-elnx=0，
∴x=e，
當(dāng)x∈（1，e），f'（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x∈（e，+∞），f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（e）=1，
∴k≤1，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查了恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．