Question

在△OAC地段中，OB是連接△OBC與△OAB的一條道路，且OB=（1+

3

）百米，點(diǎn)B在AC上，且∠AOB=30°，∠BOC=45°，設(shè)OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，△AOC的面積最��？最小值是多少平方米？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由圖形知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC，代入面積公式，求出函數(shù)y的解析式；
（2）由（1）知，函數(shù)y的解析式，求出S_△AOC的表達(dá)式，利用基本不等式求出S_△OAC最小時(shí)，x的取值以及最小面積是什么．

解答： 解：（1）結(jié)合圖形可知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC．
∴

1

2

（1+

3

）sin30°+

1

2

y（1+

3

）sin45°=

1

2

xysin75°，
解得：y=

2 x

x-2

，（其中3≤x≤6）．
（2）由（1）知，y=

2 x

x-2

，（3≤x≤6），
因此，S_△AOC=

1

2

xysin75°=

1+ 3

4

•

x2

x-2

=

1+ 3

4

[（x-2）+

4

x-2

+4]≥2+2

3

，（當(dāng)且僅當(dāng)x-2=

4

x-2

，即x=4時(shí)，等號(hào)成立）．
∴當(dāng)x=400米時(shí)，整個(gè)中轉(zhuǎn)站的占地面積S_△OAC最小，最小面積是（2+2

3

）×10⁴平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，列出等量關(guān)系，求出函數(shù)的解析式，是綜合題．