Question

13．已知數(shù)列{a_n}，${a_1}=\frac{1}{4}\;，\;{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{5}{{{4^{n+1}}}}$，則a_n=^{$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}，n=2k}\\{\frac{14}{3×1{6}^{k}}-\frac{1}{24}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N*}．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}，${a_1}=\frac{1}{4}\;，\;{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{5}{{{4^{n+1}}}}$，a_n+1+a_n+2=$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．可得a_n+2-a_n=-$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2-a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k+2}}$．利用a_n=（a_2k-a_2k-2）+（a_2k-2-a_2k-4）+…+（a₄-a₂）+a₂，即可得出．n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k-1+a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k}}$，即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}，${a_1}=\frac{1}{4}\;，\;{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{5}{{{4^{n+1}}}}$，
∴a_n+1+a_n+2=$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．
∴a_n+2-a_n=-$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．
∴n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2-a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k+2}}$．
∴a_n=（a_2k-a_2k-2）+（a_2k-2-a_2k-4）+…+（a₄-a₂）+a₂
=-$\frac{5}{{4}^{2k}}$-$\frac{5}{{4}^{2k-2}}$-…-$\frac{5}{{4}^{4}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$=-$\frac{5×\frac{1}{256}（1-\frac{1}{1{6}^{k-1}}）}{1-\frac{1}{16}}$+$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{3×1{6}^{k}}$．
n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k-1+a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k}}$，
∴a_2k-1=$\frac{5}{1{6}^{k}}$-$（\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}）$=$\frac{14}{3×1{6}^{k}}$-$\frac{1}{24}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}，n=2k}\\{\frac{14}{3×1{6}^{k}}-\frac{1}{24}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}，n=2k}\\{\frac{14}{3×1{6}^{k}}-\frac{1}{24}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．