Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的振幅為

2

，周期為π，且圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=sinx的圖象作怎樣的變換可以得到f（x）的圖象？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的振幅得到A，函數(shù)的周期求出ω，利用函數(shù)的對(duì)稱軸求出φ，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=sinx的圖象的伸縮變換，按照變換初相位，周期，振幅的順序，直接寫(xiě)出變換得到f（x）的圖象即可．

解答：解：（Ⅰ）：∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的振幅為

2

，∴A=

2

，周期為π，∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∵函數(shù)f（x）=

2

sin（2x+φ）（0＜?＜

π

2

）的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，
∴f（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

+φ）=±

2

，解得2×

π

8

+φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，
則f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
（Ⅱ）將y=sinx向左平移

π

4

個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的

1

2

倍，最后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)拉伸到原來(lái)的

2

倍可得f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的圖象的平移與伸縮變換，基本知識(shí)的考查．