Question

15．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程；   
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）判斷當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，總有f′（x）在R上是增函數(shù)，列表可得f（x），x，f′（x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得到所求單調(diào)區(qū)間和極值．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1），
所以f′（x）=a^xlna+2x-lna，f′（0）=0，…（3分）
又因?yàn)閒（0）=1，
所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1． …（6分）
（2）由（1）可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
因?yàn)楫?dāng)a＞0，a≠1時(shí)，總有f′（x）在R上是增函數(shù)，…（9分）
又f′（0）=0，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

故函數(shù)f（x）的單調(diào)簡區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
函數(shù)存在極小值為f（0）=1，無極大值．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．