Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n是S_n和1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2a_n=S_n+1，并與2a_n-1=S_n-1+1（n≥2）作差，進(jìn)而整理可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中項(xiàng)，
∴2a_n=S_n+1，2a_n-1=S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得：2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
又∵2a₁=S₁+1，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1；
（2）由（1）可知T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減得：-T_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．