Question

已知{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，求證：S_m+n=S_m+q^mS_n=S_n+qⁿS_m．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列的前n項和的定義、等比數(shù)列的通項公式進行證明即可．

解答： 證明：由題意知，{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，
s_m+n=（a₁+a₂+…+a_m）+（a_m+1+a_m+2+…+a_n+m）
=s_m+（a₁q^m+a₂q^m+…+a_nq^m）
=s_m+q^m（a₁+a₂+…+a_n）
=s_m+q^ms_n，
∴s_m+n=s_m+q^ms_n．
同理可證：S_m+n=S_n+qⁿS_m，
所以S_m+n=S_m+q^mS_n=S_n+qⁿS_m成立．

點評：本題考查等比數(shù)列前n項和的定義，以及等比數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．