Question

下列四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是

③④

．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）
①若a，b，c∈R，則“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的充分不必要條件；
②當(dāng)x∈（0，

π

4

）時(shí)，函數(shù)y=sinx+

1

sinx

  的最小值為2；
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”；
④函數(shù)f（x）=lnx+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：①、若c=0，則不論a，b的大小關(guān)系如何，都有ac²=bc²；
②、由基本不等式的使用原則：一正二定三相等，得到函數(shù)y=sin x+

1

sinx

 只有在sinx=1時(shí)，才取最小值；
③、命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”；
④、由于f（1）f（2）=（ln1+1-

3

2

）（ln 2+2-

3

2

）＜0，再由函數(shù)在區(qū)間（1，2）上單調(diào)，即可判定正誤．

解答：解：①、由于c=0，則不論a，b的大小關(guān)系如何，都有ac²=bc²，
而若ac²＞bc²，則有a＞b，
故“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的必要不充分條件，
故①為假命題；
②、當(dāng)x∈（0，

π

4

）時(shí)，由于y=sin x+

1

sinx

≥2 當(dāng)且僅當(dāng)sinx=

1

sinx

即sinx=±1時(shí)，等號(hào)成立，
而x∈（0，

π

4

），則當(dāng)x∈（0，

π

4

）時(shí)，函數(shù)y=sin x+

1

sinx

 取不到最小值為2，故②為假命題；
③、命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”，
則命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”，故③為真命題；
④、由于f（1）f（2）=（ln1+1-

3

2

）（ln 2+2-

3

2

）=-

1

2

×(ln2+

1

2

)＜0，
則函數(shù)f（x）=ln x+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上存在零點(diǎn)，
又由函數(shù)f（x）=ln x+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=ln x+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故④為真命題．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，同時(shí)考查了不等式的性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)存在定理，我們要對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．