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【題目】已知橢圓E:，若橢圓上一點與其中心及長軸一個端點構成等腰直角三角形.

（Ⅰ）求橢圓E的離心率；

（Ⅱ）如圖，若直線l與橢圓相交于AB且AB是圓的一條直徑，求橢圓E的標準方程.

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（Ⅰ）根據題設中的等腰直角三角形可以得到，代入橢圓方程得到的關系，可從中解得離心率．

（Ⅱ）因為圓的直線，故弦的長度和中點已知，通過設交點的坐標和直線的方程，聯立直線方程和橢圓方程并消元后利用韋達定理得到中點坐標與斜率的關系，最后再通過弦長為得到的大小．

詳解：（Ⅰ）由題意得橢圓上的點坐標為，

代入橢圓方程可得，即，

∴，∴，∴．

（Ⅱ）設橢圓方程為，直線為，，

由得（*）

故，．

又，故，

則，

故，，橢圓方程為.

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【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數與燒開一壺水所用時間的一組數據，且作了一定的數據處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖)．


1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中．

（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型?(不必說明理由)

（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于的回歸方程；

（3）若旋轉的弧度數與單位時間內煤氣輸出量成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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(1)證明: 平面;

(2)在中國古代數學經典著作《九章算術》中,稱圖中所示的五面體為“芻甍”(chúméng),書中將芻甍的體積求法表述為:

術曰:倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若芻甍的“下袤” 的長為,“上袤” 的長為,“廣” 的長為,“高”即“點到平面的距離”為,則芻甍的體積的計算公式為: ,證明該體積公式.

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