Question

12．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{a_n}中，若a₃a₄a₅=3^π，則sin（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇）的值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用對數(shù)的基本運算化簡log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇，通過a₃a₄a₅=3^π，求出對數(shù)的值，然后求解即可．

解答 解：因為由正數(shù)組成的等比數(shù)列{a_n}中，a₃a₄a₅=3^π，所以a₄³=3^π，a₄=3${\;}^{\frac{π}{3}}$，
∴l(xiāng)og₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇
=log₃${\;}^{{a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}•{a}_{4}•{a}_{5}•{a}_{6}•{a}_{7}}$=log₃${{a}_{4}}^{7}$=7log₃${\;}^{{a}_{4}}$=7log₃${3}^{\frac{π}{3}}$=$\frac{7π}{3}$．
∴sin（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇）
=sin$\frac{7π}{3}$=sin（2π+$\frac{π}{3}$）
=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案是：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查等比數(shù)列等比中項的應用，對數(shù)的基本運算，正弦的三角函數(shù)值的求法，考查計算能力．