Question

【題目】對于數(shù)列A：a1 ， a2 ， …，an ， 若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0﹣1數(shù)列”．若存在一個(gè)正整數(shù)k（2≤k≤n﹣1），若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項(xiàng)和該數(shù)列中另一個(gè)連續(xù)的k項(xiàng)恰好按次序?qū)��?yīng)相等，則稱數(shù)列{an}是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列A：0，1，1，0，1，1，0．因?yàn)閍1 ， a2 ， a3 ， a4與a4 ， a5 ， a6 ， a7按次序?qū)��?yīng)相等，所以數(shù)列{an}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；
（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列A一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（III）假設(shè)數(shù)列A不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a4=1，求數(shù)列{an}的最后一項(xiàng)am的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）是“5階可重復(fù)數(shù)列”，10101．
（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{an}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有23=8種不同的情形．
若m=11，則數(shù)列{an}中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m=10，數(shù)列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時(shí)，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{an}．所以，要使數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11．
（III）由于數(shù)列{an}在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{an}的末項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，則存在i≠j，
使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3 ， ai+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 0按次序?qū)��?yīng)相等，或aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3 ， aj+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 1按次序?qū)��?yīng)相等，
如果a1 ， a2 ， a3 ， a4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am不能按次序?qū)��?yīng)相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3、aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am按次序?qū)��?yīng)相等．
此時(shí)考慮ai﹣1 ， aj﹣1和am﹣4 ， 其中必有兩個(gè)相同，這就導(dǎo)致數(shù)列{an}中有兩個(gè)連續(xù)的五項(xiàng)恰按次序?qū)��?yīng)相等，從而數(shù)列{an}是“5階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列{an}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！所以a1 ， a2 ， a3 ， a4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am按次序?qū)��?yīng)相等，從而am=a4=1．
【解析】（Ⅰ）是“5階可重復(fù)數(shù)列”．（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{an}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有23=8種不同的情形．分類討論：若m=11，則數(shù)列{an}中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時(shí)，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{an}．（III）由于數(shù)列{an}在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{an}的末項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，則存在i≠j，使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3 ， ai+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 0按次序?qū)��?yīng)相等，或aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3 ， aj+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 1按次序?qū)��?yīng)相等，經(jīng)過分析可得：am=a4 ．