Question

4．某商場對A商品近30天的日銷售量y（件）與時間t（天）的銷售情況進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，日銷售量y（件）與時間t（天）之間具有線性相關(guān)關(guān)系

時間（t）	2	4	6	8	10
日銷售量（y）	38	37	32	33	30

（1）請根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法原理求出y關(guān)于t的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$t+a
（2）已知A商品近30天內(nèi)的銷售價格Z（元）與時間t（天）的關(guān)系為：z=$\left\{\begin{array}{l}{-t+100，（20≤t≤30，t∈N）}\\{t+20，（0＜t＜20，t∈Z）}\end{array}\right.$
根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測t為何值時，A商品的日銷售額最大（參考公式$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}\overline{t}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，計算$\overline{t}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，即可寫出線性回歸方程；
（2）寫出日銷售額函數(shù)L，計算函數(shù)L的最大值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，計算$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（38+37+32+33+30）=34；    …（1分）
$\sum_{i=1}^{5}$t_iy_i=2×38+4×37+6×32+8×33+10×30=980，
$\sum_{i=1}^{5}$${{t}_{i}}^{2}$=2²+4²+6²+8²+10²=220，…（3分）
所以回歸系數(shù)為：
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{980-5×6×34}{220-5{×6}^{2}}$=-1，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}\overline{t}$=34-（-1）×6=40，
故所求的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-t+40；         …（6分）
（2）由題意日銷售額為
L=$\left\{\begin{array}{l}{（t+20）（-t+40），0＜t＜20，t∈N}\\{（-t+100）（-t+40），20≤t≤30，t∈N}\end{array}\right.$；    …（7分）
當(dāng)0＜t＜20，t∈N時，
L=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900；
所以當(dāng)t=10時，L_max=900（元）；         （9分）
當(dāng)20≤t≤30，t∈N時，
L=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900；
所以當(dāng)t=20時，L_max=1600（元）；
綜上所述，估計當(dāng)t=20天時，A商品日銷售額最大值為1600元．  …（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，是中檔題．