Question

1．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=1，a_n＞0，其前n項和為S_n，且數(shù)列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$也為等差數(shù)列，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n}•{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≥0），數(shù)列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$為等差數(shù)列，取前3項成等差數(shù)列，解方程可得d=2，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，可得a_n，求得b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n}•{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+3}{{2}^{n}•（2n-1）•（2n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}•（2n-1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≥0），
∵$\sqrt{S_1}=1$，$\sqrt{S_2}=\sqrt{2+d}$，$\sqrt{S_3}=\sqrt{3+3d}$成等差數(shù)列，
∴$2\sqrt{2+d}=1+\sqrt{3+3d}$，解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，$\sqrt{{S}_{n}}$=n，故數(shù)列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$為等差數(shù)列，
b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n}•{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+3}{{2}^{n}•（2n-1）•（2n+1）}$
=$\frac{1}{{2}^{n-1}•（2n-1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$，
則前n項和T_n=$\frac{1}{{2}^{0}•1}$-$\frac{1}{{2}^{1}•3}$+$\frac{1}{{2}^{1}•3}$-$\frac{1}{{2}^{2}•5}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}•（2n-1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題，